Introducción: Las operaciones matemáticas que hemos visto anteriormente para valores numéricos, ya sean estos naturales, enteros, fraccionarios, etcétera... se pueden extender a expresiones matemáticas donde se combinan letras y números. Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas tienen sus propias reglas para operar con ellas y conforman un gran campo dentro de las matemáticas.

Expresión algebraica es la representación escrita, mediante letras y signos, de un conjunto de operaciones que se han de realizar en un cierto orden.

Expresión algebraica entera es aquella en la cual no hay ninguna letra bajo forma de divisor o denominador. En el caso contrario, dicha expresión algebraica se llama fraccionaria.

Expresión algebraica racional es aquella en la cual no hay ninguna letra bajo un signo radical. En caso contrario, la expresión algebraica correspondiente recibe el nombre de irracional. Ejemplos:

Las siguientes expresiones algebraicas son ejemplos de expresiones algebraicas enteras:

Son expresiones algebraicas fraccionarias:

Son expresiones algebraicas racionales:

Son expresiones algebraicas irracionales:

Valor numérico de una expresión algebraica

Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al efectuar las operaciones indicadas después de haber sustituido las letras por números, a cada letra, un número único que puede ser el mismo para diferentes letras pero no puede ser distinto para la misma letra en posiciones distintas.

El valor numérico de una expresión algebraica depende de los valores atribuidos a sus letras. Una expresión algebraica puede tener diversos valores numéricos al variar los valores atribuidos a las letras.

Por ejemplo, el valor numérico de la expresión algebraica

Otro Ejemplo:

Tipos de expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas equivalentes son las que adquieren el mismo valor numérico cualquiera que sea el sistema de valores atribuidos a sus letras.

Identidad es la igualdad en la que sus miembros son dos expresiones algebraicas que se convierte en una identidad numérica sólo para ciertos valores dados de las letras que contiene.

Por ejemplo, las expresiones 3a + 5, 2a + a + 5, 3(a + 1) + 2, son equivalentes. La igualdad 3a + 5 = 3(a + 1) + 2 es una identidad y la igualdad 3a = 21 es una ecuación porque sólo será una igualdad numérica para a = 7.

Estructura de las expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas polinómicas con coeficientes de las estructuras numéricas Z, Q, R o C son anillos, dominio de integridad en las operaciones adición y multiplicación.

Cuando los coeficientes pertenecen a un cuerpo conmutativo, como en el caso de Q, R, o C, se pueden establecer los conceptos de múltiplo y divisor, así como de m.c.d. y m.c.m.

El cálculo del m.c.d. y m.c.m. puede realizarse, en casos sencillos, a través de la descomposición factorial de las expresiones. Para ello, conviene recordar cómo se saca el factor común; y también las expresiones para el cuadrado y el cubo de un binomio. Recordemos que sacar el factor común es aplicar convenientemente la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

En una expresión polinómica, esto es, en una expresión en la que sólo aparecen la suma algebraica de términos que son producto de factores literales y/o numéricos (llamados monomios) el factor común se halla buscando entre los términos de la expresión polinómica el producto de los factores comunes que tienen menor exponente.

Veamos un ejemplo de descomposición factorial de expresiones algebraicas polinómicas:

Para saber más:

La palabra álgebra de origen árabe, designa la rama de las matemáticas que estudia las estructuras abstractas con las que se intentan comprender las propiedades de los conjuntos de números y los tipos de funciones.

La lógica, que tradicionalmente formaba parte de los estudios humanísticos, es en la actualidad una de las ramas del álgebra.

Vocabulario Esencial

Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se convierte en una identidad numérica sólo para ciertos valores dados de las letras que contienen las expresiones.

Expresiones algebraicas equivalentes: Son aquellas expresiones algebraicas que adquieren el mismo valor numérico cualquiera que sea el sistema de valores atribuidos a sus letras.

Identidad: Es una igualdad en la que sus miembros son dos expresiones algebraicas equivalentes.

Resumen

Una expresión algebraica es un conjunto de operaciones donde los términos contienen letras además de números.

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar en: enteras, fraccionarias, racionales e irracionales, en función del tipo de operaciones que afectan a su parte literal.

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene como resultado al realizar las operaciones indicadas sustituyendo cada letra por un valor previamente asignado.