RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

 

Analisis en el dominio del tiempo de funciones analógicas - sistemas de segundo orden

     Un sistema de segundo orden como G(s) = w2 / (s2 + 2 dws + w2) donde es importante notar que w (omega) es la frecuencia natural no amortiguada, y d (dseta) es la relación de amortiguación, y, el producto de wd se le conoce como s (sigma) atenuación.

El comportamiento dinámico del sistema se puede describir en términos de los parámetros w y d. Si 0 < d < 1, se dice que el sistema está subamortiguado y su respuesta transitoria es oscilatoria. Si d =1, el sistema está críticamente amortiguado. Y para d > 1, se tiene un sistema sobreamortiguado y la respuesta transitoria no oscila.

 

a) Respuesta al impulso unitario.

La respuesta al impulso unitario es:

donde la respuesta y(t) para 0 <= d < 1 es:

d=0.5  w=1

 

El sobreimpulso máximo se produce cuando

             

El sobreimpulso máximo es

 

En el caso de d > 1

 

b) Respuesta al escalón unitario.

La respuesta al escalón unitario es:

 

Para el caso subamortiguado ( 0 < d < 1)

        wd= frecuencia natural amortiguada

La señal de error es:

 

En el caso del amortiguamiento crítico (d =1)

 

En el caso sobreamortiguado (d >1)             d=2

 

  

TIEMPO DE CRECIMIENTO (seg).- Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100%, o en

sistemas sobreamortiguados, de 10 al 90%.

TIEMPO DE PICO (seg).- es el requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso.

          tp=1

SOBREIMPULSO MAXIMO (%).- es el valor pio máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad.

  Mp=19.996

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO (seg).- Es el tiempo requerido para alcanzar y mantenerse en el rango del

5% del valor final absoluto.

   ts=1.864

Respuesta transitoria

La respuesta transitoria de un sistema de control depende de la posición de las raíces de la ecuación característica del sistema. En un sistema de control continuo las especificaciones de la respuesta temporal se dan en términos del sobrepico máximo (Sp), tiempo de establecimiento (ts), y tiempo de subida (tr). Para el sistema de segundo orden siguiente:

Las especificaciones son.

Las expresiones anteriores nos permitirán determinar los parámetros z  y wn, en función de Sp ,ts y tr los cuales nos darán la posición de los polos de la función de transferencia del sistema en el plano s para que se cumplan unas especificaciones dadas.

Lo anteriormente indicado es valido para sistemas continuos en el tiempo, para poder hacer lo mismo en los sistemas discretos, debemos tener en cuenta la relación existente entre el plano s y el plano z, esta relación viene dada por :

Un sistema con un par de polos conjugados complejos en el plano s ,

tendrá un sobrepico , tiempo de respuesta y tiempo de subida determinados, entonces aplicando  , obtenemos las raíces del plano z del sistema discreto correspondiente.

 Estas raíces del plano z corresponden con las del plano s según se muestra en la figura 1.

 

 

Figura 1

 

Ejemplo:

Un par de raíces s= -2 + 4j pertenecientes a un sistema de segundo orden , harían que este sistema presente las siguientes especificaciones es la respuesta

transitoria.

Sp=0.2

tr=0.5 seg.

ts=2

El sistema discreto correspondiente tendría unas raíces en:

                             

y presentaría el sobrepico y tiempos de subida y establecimiento iguales al sistema continuo.

  

EJERCICIO.

En la figura se muestra el diagrama de bloques de un servomecanismo. Determinar los valores de K y b para que la máxima sobreoscilación de la respuesta a un escalón unitario sea del 15%, y que el tiempo de subida sea de 1.2 segundos.

Solución:

Siempre que se dan especificaciones en el dominio del tiempo (sobreoscilación, tiempo de subida, tiempo de establecimiento, ...), hay que poner el sistema en alguna de las formas que hemos estudiado: sistemas de primer orden o sistemas de segundo orden. Si tenemos un sistema de orden superior, se aproxima a un sistema de segundo orden.

En el sistema de la figura, vamos a obtener la función de transferencia en bucle cerrado la que relaciona R(s) con Y(s)). Poniendo las relaciones entre las variables en la figura:

Sustituyendo:

Y la función de transferencia en bucle cerrado T(s) queda:

 

Vemos que es un sistema de segundo orden. Para los sistemas de segundo orden se tienen

expresiones de las especificaciones en el dominio del tiempo:

• Sobreoscilación (en %):     

• Tiempo de establecimiento: 2%: , 5%:      

• Tiempo de subida (aproximación):   

Los coeficientes y corresponden al factor de amortiguamiento y a la frecuencia natural,

y se obtienen de poner el sistema de segundo orden en la forma estándar:

Por lo tanto, sólo queda identificar los coeficientes de nuestro sistema con los de la forma

estándar, y aplicar las restricciones.

Las restricciones son las siguientes:

Y ya puedo obtener los valores de K y b que cumplen las especificaciones:

  BIBLIIOGRAFIA   

Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Editorial Prentice Hall. 1977.

Sistemas de Control automático. Benjamín C.Kuo. Prentice Hall. 1996.

Retroalimentación y sistemas de control. J.J. Distefano III y otros. McGraw-Hill (serie Shaum), 1972.

 

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ControlP     Versión 5.10

  LNK

-http://www.oocities.org/CollegePark/Pool/1549/frame.html  

 

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